Análisis Matemático

[RenataBr]

Hola! Tengo una duda sobre análisis, cuando calculo los máximos y/o mínimos de una función por medio de la derivada de la misma, obtengo los intervalos de crecimiento y decrecimiento. Puedo identificar en donde estaría el mínimo, pero no sé como encontrar el punto exacto, con exactitud estaba haciendo el punto 2.4 (b) de la UNIDAD 0 de la practica. 
Los puntos críticos de ese ejercicio son -4/3 y 2.

[miriamlaura]

Hola Renata,

No sé si interpreto tu pregunta; fijáte que, al saber los puntos críticos, y saber en qué intervalos crece / decrece la función, podés saber en cuáles hay máximos y en cuáles hay mínimos, con exactitud.

Veamos en este caso:

La derivada de f(x) es:  f'(x) = 3 . x^2 - 2 . x - 8

- En -4/3 y en 2 hay puntos críticos, es decir: la derivada de f(x) es cero: f'(x) = 0; salen igualando la cuadrática a cero.

Como la cuadrática de f'(x) es una parábola CONCAVA (ojo, me refiero a la DERIVADA de f(x)), entonces tenemos que:

* Para x < -4/3   -----> la parábola está por encima del eje x, o sea: f'(x) > 0
* Para -4/3 < x < 2   -----> la parábola está por debajo del eje x, o sea: f'(x) < 0
* Para x > 2 -----> la parábola está por encima del eje x, o sea: f'(x) > 0

Entonces, refiriéndonos ahora a f(x):
* f(x) CRECE para -2 < x < -4/3 (porque su derivada es positiva)
* f(x) DECRECE para -4/3 < x < 2  (porque su derivada es negativa

----> conclusión, en x = - 4/3, tiene que haber un máximo local exactamente, ya que hasta -4/3 crece y luego decrece.

Para saber el valor de la función en (-4/3), ahí sólo evaluamos f(x) (la función, no la derivada), en (-4/3), es decir:

f(-4/3) = (-4/3)^3 - (-4/3)^2 - 8 . (-4/3) + 1    ----> esto da a qué "altura" exacta se encuentra el máximo.

O sea que las "coordenadas" del máximo es el par ordenado:    ( -4/3, f( -4/3) )

Después, seguimos con algo similar para los otros intervalos. Alrededor de x = 2, tenemos:

* Para -4/3 < x < 2   f'(x) < 0  ---> f(x) DECRECE en este intervalo
[ * Para 2 < x          f'(x) > 0     ---> f(x) CRECE en este intervalo ] (aunque el dominio llega hasta x = 2)

----> Esto quiere decir que en x = 2 exactamente, *si la función estuviera definida para x > 2 también*, en x = 2 habría un mínimo local. PERO como no está definida para x > 2, entonces no podemos hablar de "mínimo local" ahí, y habría que comparar f(2) con f(-2) para saber cuál valor es el más bajo.... en este caso, si hacés esa cuenta, da que f(-2) > f(2), es decir que en x = 2 hay un mínimo ABSOLUTO en el intervalo [-2,2]

Por último, el par ordenado con las coordenadas del mínimo, se expresa:    ( 2 , f(2) )

donde f(2) = 2^3 - 2^2 - 8 . 2 + 1

O sea, cada máximo / mínimo sale en forma exacta. Hay funciones más complicadas, donde probablemente los ceros de la derivada sean imposibles de derivar analíticamente y haya que hacer métodos numéricos. Pero no es éste el caso.

No sé si te referías a esto, o a otra cosa. Por favor, volvé a consultar si te referías a otra cosa o si no se entiende algo.

Saludos,
Miriam